۱- عددهای طبیعی از ۱ تا ۲۰ را بنویسید و دور عددهای اول خط بکشید.
آیا عدد ۱ اول است؟ چرا؟
آیا عدد ۱ مرکب است؟ چرا؟
**اعداد طبیعی ۱ تا ۲۰ و اعداد اول:**
اعداد اول اعدادی طبیعی و بزرگ‌تر از ۱ هستند که فقط دو شمارنده طبیعی دارند: عدد یک و خودشان. اعداد اول بین ۱ تا ۲۰ عبارتند از:
۱, **۲**, **۳**, ۴, **۵**, ۶, **۷**, ۸, ۹, ۱۰, **۱۱**, ۱۲, **۱۳**, ۱۴, ۱۵, ۱۶, **۱۷**, ۱۸, **۱۹**, ۲۰
**آیا عدد ۱ اول است؟ چرا؟**
**خیر**، عدد ۱ اول نیست. زیرا طبق تعریف، عدد اول باید **دقیقاً دو شمارنده** متفاوت (یک و خودش) داشته باشد. عدد ۱ فقط یک شمارنده دارد که همان عدد ۱ است.
**آیا عدد ۱ مرکب است؟ چرا؟**
**خیر**، عدد ۱ مرکب هم نیست. زیرا عدد مرکب عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ۱ است که **بیش از دو شمارنده** دارد. از آنجایی که عدد ۱ فقط یک شمارنده دارد، در این دسته نیز قرار نمی‌گیرد.
**نتیجه:** عدد ۱ یک عدد خاص است و نه اول و نه مرکب محسوب می‌شود.
۲- با توجه به سؤال بالا، عددهای طبیعی را به سه دسته تقسیم کنید و ویژگی‌های هر کدام را بنویسید.
با توجه به تعداد شمارنده‌های طبیعی هر عدد، مجموعه اعداد طبیعی ($ \mathbb{N} = \{۱, ۲, ۳, ...\} $) را می‌توان به سه دسته زیر تقسیم کرد:
۱. **عدد یک ($۱$)**
- **ویژگی:** تنها عدد طبیعی است که **دقیقاً یک شمارنده** (مقسوم‌علیه) دارد و آن خودش است.
۲. **اعداد اول (Prime Numbers)**
- **ویژگی:** اعدادی طبیعی و بزرگ‌تر از ۱ هستند که **دقیقاً دو شمارنده** طبیعی متمایز دارند: عدد ۱ و خودشان.
- **مثال:** $ ۲, ۳, ۵, ۷, ۱۱, ... $
۳. **اعداد مرکب (Composite Numbers)**
- **ویژگی:** اعدادی طبیعی و بزرگ‌تر از ۱ هستند که **بیش از دو شمارنده** طبیعی دارند. به عبارت دیگر، علاوه بر ۱ و خودشان، حداقل یک شمارنده دیگر نیز دارند.
- **مثال:** $ ۴, ۶, ۸, ۹, ۱۰, ... $
۳- مضرب‌های طبیعی عدد ۲ در زیر نوشته شده است. در صورت امکان، آنها را مانند نمونه به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ بنویسید.
به همین ترتیب، مضرب‌های طبیعی عددهای ۳ و ۴ را بنویسید و در صورت امکان آنها را به صورت ضرب دو عدد طبیعی و بزرگ‌تر از ۱ بنویسید.
مضرب‌های یک عدد اعدادی هستند که از ضرب آن عدد در اعداد طبیعی ($۱, ۲, ۳, ...$) به دست می‌آیند. اعدادی که مرکب باشند را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ نوشت.
- **مضرب‌های طبیعی عدد ۳:**
$۳, ۶, ۹, ۱۲, ۱۵, ...$
- $۳$: اول است (امکان‌پذیر نیست)
- $۶ = ۲ \times ۳$
- $۹ = ۳ \times ۳$
- $۱۲ = ۲ \times ۶$ (یا $۳ \times ۴$)
- $۱۵ = ۳ \times ۵$
- **مضرب‌های طبیعی عدد ۴:**
$۴, ۸, ۱۲, ۱۶, ۲۰, ...$
- $۴ = ۲ \times ۲$
- $۸ = ۲ \times ۴$
- $۱۲ = ۲ \times ۶$ (یا $۳ \times ۴$)
- $۱۶ = ۴ \times ۴$ (یا $۲ \times ۸$)
- $۲۰ = ۴ \times ۵$ (یا $۲ \times ۱۰$)
۴- با توجه به سؤال بالا، آیا می‌توانیم بگوییم که همۀ مضرب‌های یک عدد طبیعی مرکب‌اند؟ چرا؟
**خیر**، این گفته درست نیست.
**چرا؟** زیرا **اولین مضرب** هر عدد اول، خود آن عدد اول است که طبق تعریف، مرکب نیست.
- **مثال نقض:** مضرب‌های عدد اول $۳$ را در نظر بگیرید: $۳, ۶, ۹, ...$
- عدد $۳$ اولین مضرب عدد $۳$ است ($۳ = ۳ \times ۱$).
- اما عدد $۳$ یک عدد **اول** است، نه مرکب.
بنابراین، این جمله که "همۀ مضرب‌های یک عدد طبیعی مرکب‌اند" صحیح نمی‌باشد.
**نکته تکمیلی:** می‌توان گفت که به جز اولین مضرب اعداد اول، سایر مضرب‌های همه اعداد طبیعی بزرگ‌تر از ۱، مرکب هستند. برای مثال، مضرب‌های دوم، سوم، چهارم و... اعداد ۲ و ۳ (یعنی $۴, ۶, ۸, ...$ و $۶, ۹, ۱۲, ...$) همگی مرکب هستند.
